2021/10/19の予想(未解決)
$$a_n=\sum_{k=1}^{n}\sin{k^\alpha}$$について、$\alpha=0$ のとき$\{a_n\}$は有界。$\alpha>0$のとき$\{a_n\}$は非有界
事実：$\alpha=0$ のとき$\{a_n\}$が有界なのは既知
2022/4/30の予想(解決!)
\begin{equation*} \lim_{x\to\infty}\left(\left(\zeta(x)-1\right)^{-1}-2^x+\left(\frac{4}{3}\right)^x\right)=-1\\ \lim_{x\to\infty}\left(\left(\left(\zeta(x)-1\right)^{-1}-2^x+\left(\frac{4}{3}\right)^x+1\right)^{-1}-\left(\frac{9}{8}\right)^x-\left(\frac{81}{80}\right)^x\right)=0 \end{equation*}2022/11/22の予想(未解決)
$$f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin{k^2 x}}{k^2}$$について、$0\le x\le\pi$のとき、$x=\frac{2}{3}\pi$で最大値を取り、$x=\frac{6}{7}\pi$で最小値を取る
2022/11/23の予想1(未解決)
$$f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin{k^2 x}}{k^2}$$
には、微分可能な点が加算無限個存在し、そのすべてが$x=\alpha\pi\ (\alpha\in\mathbb{Q})$で表せる点である
2022/11/23の予想2(解決! → 証明)
$$f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin{k^2 x}}{k^2}$$
は連続関数である
2023/4/21の予想(未解決)
$$f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin{k^2 x}}{k^2}$$
のとき、
$$x\in\mathbb{Q}\implies\frac{f(\pi x)}{\pi^2}\in\bar{\mathbb{Q}}$$
($\bar{\mathbb{Q}}$は代数的数全体の集合)
2023/4/29の予想(解決)
$$\lim_{x\to+0}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin{k^2 x^2}}{k^2 x}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$$
2023/5/8の予想(未解決)
$$f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin{k^2 x}}{k^2}$$
のとき、任意の $n \in \mathbb{N}$ に対して
$$\lim_{x\to+0}\frac{1}{x}\left(f\left(\frac{\pi}{2n}\right)-f\left(\frac{\pi}{2n}-x^2\right)\right)=\sqrt{\frac{\pi}{2n}}$$
2023/5/12の予想(解決)
$0< x<\sqrt{\pi}$のとき次の等式が成り立つ。
$$\lim_{n\to\infty}\frac{x}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}\cos{\frac{k^2 x^2}{n}}=\sqrt{\frac{\pi}{8}}$$
