定理
任意の$n\in\mathbb{N}$、$x\in\mathbb{R}$に対して$\displaystyle|h_n(x)|\leq 1$であるような連続関数の列$\{h_n\}$と、 級数$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty A_n$が絶対収束するような数列$\displaystyle\{A_n\}$に対して、
$$f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}A_kh_k(x)$$
は連続関数である。
証明
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任意の$a,\varepsilon>0$に対して、以下が成り立つ。
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$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty A_n$は絶対収束するから、
$\displaystyle \exists N,\ n\geq N \Rightarrow\left|\sum_{k=1}^n\left|A_k\right|-\sum_{k=1}^\infty \left|A_k\right|\right|<\frac{\varepsilon}{4}\\ \displaystyle\therefore\exists N, \sum_{k=N+1}^\infty \left|A_k\right|<\frac{\varepsilon}{4}$
が成り立つ。ここでそのような$N$を１つ固定する。
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$\displaystyle g(x) = \sum_{k=1}^NA_kh_k(x)$とおくと、これは連続関数の有限和なので$g(x)$も連続関数である。
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$g(x)$は連続関数であるから、
$\displaystyle\exists\delta>0,0<|x-a|<\delta\Rightarrow\left|g(x)-g(a)\right|<\frac{\varepsilon}{2}$
$\displaystyle\therefore\exists\delta>0,0<|x-a|<\delta\Rightarrow-\frac{\varepsilon}{2}< \sum_{k=1}^NA_kh_k(x)-\sum_{k=1}^NA_kh_k(a)<\frac{\varepsilon}{2}$
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任意の$x$に対して、
$\displaystyle\left|\sum_{k=N+1}^{\infty}A_kh_k(x)\right|\leq\sum_{k=N+1}^{\infty}|A_k||h_k(x)|\leq\sum_{k=N+1}^{\infty}|A_k|<\frac{\varepsilon}{4}$
であるから、
$\displaystyle-\frac{\varepsilon}{2}<\sum_{k=N+1}^{\infty}A_kh_k(x)-\sum_{k=N+1}^{\infty}A_kh_k(a)<\frac{\varepsilon}{2}$
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よって、
$\displaystyle\exists\delta>0,0<|x-a|<\delta\Rightarrow-\varepsilon< \sum_{k=1}^NA_kh_k(x)+\sum_{k=N+1}^{\infty}A_kh_k(x)-\sum_{k=1}^NA_kh_k(a)-\sum_{k=N+1}^{\infty}A_kh_k(a)<\varepsilon$
であり、整理すると、
$\displaystyle\exists\delta>0,0<|x-a|<\delta\Rightarrow-\varepsilon< \sum_{k=1}^{\infty}A_kh_k(x)-\sum_{k=1}^{\infty}A_kh_k(a)<\varepsilon$
$\displaystyle\exists\delta>0,0<|x-a|<\delta\Rightarrow\left|f(x)-f(a)\right|<\varepsilon$
となる。
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以上より、$\displaystyle\forall a\ \forall \varepsilon\ \exists\delta>0,0<|x-a|<\delta\Rightarrow\left|f(x)-f(a)\right|<\varepsilon$が言えた。
よって、
$\displaystyle\forall a\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$
であり、$f(x)$は連続関数である。$\blacksquare$
系
上の定理において、$\displaystyle h_n(x)=\sin n^2x$、$\displaystyle A_n=\frac{1}{n^2}$とすれば、
$$f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin{k^2 x}}{k^2}$$が連続関数であることがわかる。
