和が0の数の組の積の逆数の総和

定理

$$\sum_{\substack{(k_1,\ldots,k_{2n})\in\mathbb{Z}^{2n}\\ k_1+\cdots +k_{2n} = 0\\ k_1\cdots k_{2n} \neq 0}} \frac{1}{k_1\cdots k_{2n}} = (-1)^n\frac{\pi^{2n}}{2n+1}$$

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証明

まずは $x$ を複素フーリエ級数展開します。複素数の列 $c_n$ を用いて、$x\in(-\pi, \pi)$ の範囲で $$ x = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx} $$ と書けたとします。$m$ を整数として、両辺に $e^{-imx}$ をかけてから $-\pi$ から $\pi$ まで積分すれば、 $$ \int_{-\pi}^{\pi} x e^{-imx} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}e^{-imx} dx $$ となるので、両辺をそれぞれ計算します。まず左辺は $m\neq 0$ のとき、 $$ \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} x e^{-imx} dx &= \left[\frac{1}{-im}xe^{-imx}\right]_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{-im} e^{-imx} dx \\ &= 2\pi(-1)^{m}\frac{i}{m} \\ \end{aligned} $$ となります。$m = 0$ のときは簡単な計算により0になることが分かります。右辺も計算します。 $$ \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}e^{-imx} dx &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \int_{-\pi}^{\pi} e^{i(n-m)x} dx\\ \end{aligned} $$ ここで、$e^{i(n-m)x}$ の定積分は $n\neq m$ のときはすべて0になるので、 $$ \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}e^{-imx} dx &=c_m \int_{-\pi}^{\pi} dx\\ &= 2\pi c_m \\ \end{aligned} $$ となります。左辺の結果と合わせて $$ c_n = \begin{cases} 0 & (n=0) \\ (-1)^{n}\frac{i}{n} & (n\neq 0)\\ \end{cases} $$ と $c_n$ を求められました。ゆえに、$x\in(-\pi, \pi)$ の範囲で $$ x = \sum_{k\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}} (-1)^{k}\frac{i}{k} e^{ikx} $$ が成り立ちます。$\mathbb{Z}\backslash\{0\}$ というのは整数から$0$を取り除いた集合です。また、被らないように変数を $n$ から $k$ に変更しました。 さて、新しく $n$ を自然数として、両辺を $2n$ 乗してから $-\pi$ から $\pi$ まで積分しましょう。 $$ \int_{-\pi}^{\pi} x^{2n} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \left(\sum_{k\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}} (-1)^{k}\frac{i}{k} e^{ikx}\right)^{2n} dx$$ となります。左辺は $$ \int_{-\pi}^{\pi} x^{2n} dx = \frac{2\pi^{2n+1}}{2n+1} $$ と簡単に求めることができますから、問題は右辺です。$k_1$ から $k_{2n}$ までの変数を使って変形しましょう。 $$ \begin{aligned} & \int_{-\pi}^{\pi} \left(\sum_{k\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}} (-1)^{k}\frac{i}{k} e^{ikx}\right)^{2n} dx\\ =& \int_{-\pi}^{\pi} \left(\sum_{k_1\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}} (-1)^{k_1}\frac{i}{k_1} e^{ik_1x}\right) \left(\sum_{k_2\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}} (-1)^{k_2}\frac{i}{k_2} e^{ik_2x}\right) \cdots \left(\sum_{k_{2n}\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}} (-1)^{k_{2n}}\frac{i}{k_{2n}} e^{ik_{2n}x}\right) dx\\ =& \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{k_1\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}} \sum_{k_2\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}} \cdots \sum_{k_{2n}\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}} \left( (-1)^{k_1}\frac{i}{k_1} e^{ik_1x}\right) \left( (-1)^{k_2}\frac{i}{k_2} e^{ik_2x}\right) \cdots \left( (-1)^{k_{2n}}\frac{i}{k_{2n}} e^{ik_{2n}x}\right) dx\\ =& \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{\substack{(k_1,\ldots,k_{2n})\in(\mathbb{Z}\backslash\{0\})^{2n}}} (-1)^{k_1+\cdots+k_{2n}}\frac{i^{2n}}{k_1\cdots k_{2n}} e^{i(k_1+\cdots+k_{2n})x} dx\\ =& \sum_{\substack{(k_1,\ldots,k_{2n})\in(\mathbb{Z}\backslash\{0\})^{2n}}} (-1)^{k_1+\cdots+k_{2n}}\frac{(-1)^n}{k_1\cdots k_{2n}} \int_{-\pi}^{\pi} e^{i(k_1+\cdots+k_{2n})x} dx\\ \end{aligned} $$ このように進めることができます。ここでやはり $e^{i(k_1+\cdots+k_{2n})x}$ の定積分は $k_1+\cdots+k_{2n}\neq 0$ のときはすべて0になるので、 $k_1+\cdots+k_{2n}=0$の場合だけの和にすることができます。すると、 $$ \begin{aligned} & \sum_{\substack{(k_1,\ldots,k_{2n})\in(\mathbb{Z}\backslash\{0\})^{2n}}} (-1)^{k_1+\cdots+k_{2n}}\frac{(-1)^n}{k_1\cdots k_{2n}} \int_{-\pi}^{\pi} e^{i(k_1+\cdots+k_{2n})x} dx\\ =& \sum_{\substack{(k_1,\ldots,k_{2n})\in(\mathbb{Z}\backslash\{0\})^{2n}\\k_1+\cdots+k_{2n}=0}} (-1)^{k_1+\cdots+k_{2n}}\frac{(-1)^n}{k_1\cdots k_{2n}} \int_{-\pi}^{\pi} e^{i(k_1+\cdots+k_{2n})x} dx\\ =& \sum_{\substack{(k_1,\ldots,k_{2n})\in(\mathbb{Z}\backslash\{0\})^{2n}\\k_1+\cdots+k_{2n}=0}} \frac{(-1)^n}{k_1\cdots k_{2n}} \int_{-\pi}^{\pi}dx\\ =& 2\pi(-1)^n \sum_{\substack{(k_1,\ldots,k_{2n})\in(\mathbb{Z}\backslash\{0\})^{2n}\\k_1+\cdots+k_{2n}=0}} \frac{1}{k_1\cdots k_{2n}}\\ \end{aligned} $$ と整理することができます。途中、$k_1+\cdots+k_{2n}=0$ を利用したことに注意してください。 左辺の結果と合わせることで、 $$ \sum_{\substack{(k_1,\ldots,k_{2n})\in(\mathbb{Z}\backslash\{0\})^{2n}\\k_1+\cdots+k_{2n}=0}} \frac{1}{k_1\cdots k_{2n}} = (-1)^n\frac{\pi^{2n}}{2n+1} $$ が得られました。ここで $(k_1,\ldots,k_{2n})\in(\mathbb{Z}\backslash\{0\})^{2n}$ という条件は $(k_1,\ldots,k_{2n})\in\mathbb{Z}^{2n}$ かつ $k_1\ldots k_{2n} \neq 0$ という 条件と同値であるので、定理が従います。お疲れさまでした。

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その他

• 偶数個の変数の和を求めましたが、奇数個の場合はだいぶ自明に0になって面白くなかったためです。 よければ理由を考えてみてください。
• このような多変数の級数で、条件がついたものは一般的な研究がされてるのでしょうか。 例えば、$A$ を行列、$k$ を整数からなるベクトルとしたときに、$Ak = 0$を満たす$k$ に対して 同様の和を考えることができます。その場合、級数の添え字として行列を取ることになりますが、 なにか面白い現象は起きるのでしょうか。気になりますね。
• タイトルの日本語が下手すぎ、助詞と名詞でボルタ電池でも作ってるの？
• MZV(多重ゼータ値)の文脈だと和の変数は $n_i$ とすることが多いようです(?)が、 変数を決めるのって難しい...いつも困っています。

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参考文献

• Σ1/(n^2+1)複素フーリエ級数｜まめけびのごきげん数学・物理 https://mamekebi-science.com/math/series/parseval-series/
  扱っている関数は異なりますが、計算の流れはこの素晴らしい記事とほとんど同じです。

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